Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．

（1）求证：∠CAD＝∠B．

（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝，BC＝2．求⊙O的半径．

Answer

（1）见解析；（2）⊙O的半径为.

【解析】

（1）连结AO，并延长AO交⊙O与点E，连结EC，依据圆周角定理可得到∠B=∠E，然后根据直径所对的圆周角为90°，得出∠E+∠EAC=90°，再根据切线的性质可得∠EAC+∠CAD=90°，进行证明即可；
（2）根据AC是∠BAD的平分线，结合（1）中结论证出BC=AC，然后由∠B=∠E可得到sinE=，从而可求得AE的长，然后可求得⊙O的半径．

【解析】
（1）连结AO，并延长AO交⊙O与点E，连结EC．

∵AD为⊙O的切线，

∴OA⊥AD，

∴∠EAD＝90°，

∴∠EAC+∠CAD＝90°．

∵AE为⊙O的直径，

∴∠E+∠EAC＝90°，

∴∠E＝∠CAD．

又∵∠E＝∠B，

∴∠CAD＝∠B．

（2）∵AC是∠BAD的平分线，

∴∠BAC＝∠CAD．

又∵∠CAD＝∠B，

∴∠BAC＝∠CAB．

∴AC＝BC＝2．

又∵∠E＝∠B，

∴∠CAD＝∠B．

∴sinE＝sinB＝，

在RtAEC中，sinE＝，

即＝，解得AE＝，

∴⊙O的半径为．