Question

某工厂加工螺栓、螺帽,已知每1块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺帽(说明:每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺帽),已知1个螺栓和2个螺帽组成一个零件,为了加工更多的零件,要求螺栓和螺帽恰好配套.请列方程解决下列问题:

(1)现有20块相同的金属原料,问最多能加工多少个这样的零件?

(2)若把26块相同的金属原料全部加工完,问加工的螺栓和螺帽恰好配套吗?说明理由

(3)若把块相同的金属原料全部加工完,为了使这样加工出来的螺栓与螺帽恰好配套,请求出所满足的条件.

Answer

（1）24 （2）加工的螺栓和螺帽不能恰好配套．理由见解析（3）n是5的整数倍，且n为正整数．

【解析】

（1）设用x块金属原料加工螺栓，则用（20-x）块金属原料加工螺帽．根据2×螺栓的个数=螺帽的个数，列出方程求解即可；

（2）设用y块金属原料加工螺栓，则用（26-y）块金属原料加工螺帽．根据2×螺栓的个数=螺帽的个数列出方程，求出的方程的解，如果解是正整数，那么加工的螺栓和螺帽恰好配套；否则不能配套；

（3）设用a块金属原料加工螺栓，则用（n-a）块金属原料加工螺帽，可使这样加工出来的螺栓与螺帽恰好配套．根据2×螺栓的个数=螺帽的个数列出方程，得出n与a的关系，进而求解即可．

【解析】
（1）设用x块金属原料加工螺栓，则用（20-x）块金属原料加工螺帽．

由题意，可得2×3x=4（20-x），

解得x=8，

则3×8=24．

答：最多能加工24个这样的零件；

（2）若把26块相同的金属原料全部加工完，加工的螺栓和螺帽不能恰好配套．理由如下：
设用y块金属原料加工螺栓，则用（26-y）块金属原料加工螺帽．

由题意，可得2×3y=4（26-y），

解得y=10.4．

由于10.4不是整数，不合题意舍去，

所以若把26块相同的金属原料全部加工完，加工的螺栓和螺帽不能恰好配套；

（3）设用a块金属原料加工螺栓，则用（n-a）块金属原料加工螺帽，可使这样加工出来的螺栓与螺帽恰好配套．

由题意，可得2×3a=4（n-a），

解得a=n，则n-a=n，

即n所满足的条件是：n是5的整数倍，且n为正整数．