Question

如图1,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB、∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍,则称射线OC是∠AOB的“奇分线”，如图2,∠MPN=42°:

(1)过点P作射线PQ,若射线PQ是∠MPN的“奇分线”,求∠MPQ；

(2)若射线PE绕点P从PN位置开始,以每秒8°的速度顺时针旋转,当∠EPN首次等于180°时停止旋转,设旋转的时间为(秒).当为何值时,射线PN是∠EPM的“奇分线”?

Answer

（1）10.5°或14°或28°或31.5°；（2）或或或

【解析】

（1）分4种情况，根据奇分线定义即可求解；

（2）分4种情况，根据奇分线定义得到方程求解即可．

【解析】
（1）如图1，∵∠MPN=42°，

∵当PQ是∠MPN的3等分线时，

∴∠MPQ=∠MPN=×42°=14°

或∠MPQ=∠MPN=×42°=28°

∵当PQ是∠MPN的4等分线时，

∴∠MPQ=∠MPN==×42°=10.5°

或∠MPQ=∠MPN=×42°=31.5°；

∠MPQ=10.5°或14°或28°或31.5°；

（2）依题意有①当3×8t=42时，解得t=；
②当2×8t=42时，解得t=；
③当8t=2×42时，解得t=．
④当8t=3×42时，解得：t=，
故当t为或或或时，射线PN是∠EPM的“奇分线”．