Question

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点G为边BC的中点，点D从点C出发沿CA向点A运动，到点A停止，以GD为边作正方形DEFG，则点E运动的路程为_______．

Answer

3

【解析】

建立下图所示的坐标系，过点E作EH⊥y轴，垂足为H，先证明△EDH≌△DGC，则DH=GC=2，DC=EH，设DC=t，则EH=t，点E的坐标为（-t，t+2），然后求得当t=0和t=3时点E的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求解．

【解析】
建立如图所示的坐标系，过点E作EH⊥y轴，垂足为H．

∵BC=4，点G为边BC的中点，
∴GC=2．
∵DEFG为正方形，
∴ED=DG，∠EDG=90°．
∴∠EDH+∠GDC=90°．
又∵∠EDH+∠HED=90°，
∴∠GDC=∠HED．
在△EDH和△DGC中，∠GDC=∠HED，∠EHD=∠DCG，ED=DG，
∴△EDH≌△DGC．
∴DH=GC=2，DC=EH．
设DC=t，则EH=t，
∴点E的坐标为（-t，t+2），
∴点E在直线y=-x+2．
由题意可知：0＜t≤3，
当t=0时，y=2，E（0，2）
当t=3时，y=5，E（-3，5）
∴点E运动的路线长= ．
故答案为：3 ．