Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点．

（Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）15.

【解析】

（Ⅰ）先证四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求AE=CE，即可得四边形AECD是菱形；
（Ⅱ）由题意可求S△AEC=S△ACD=S△ABC，即可求四边形ABCD的面积．

证明（Ⅰ）∵AD∥BC

∴∠ADB＝∠DBE

∵F是AE中点

∴AF＝EF且∠AFD＝∠BFE，∠ADB＝∠DBE

∴△ADF≌△BEF

∴BE＝AD

∵AB⊥AC，E是BC中点

∴AE＝BE＝EC

∴AD＝EC，且AD∥BC

∴四边形ADCE是平行四边形

且AE＝EC

∴四边形ADCE是菱形；

（Ⅱ）∵AC＝4，AB＝5，AB⊥AC

∴S△ABC＝10

∵E是BC中点

∴S△AEC＝S△ABC＝5

∵四边形ADCE是菱形

∴S△AEC＝S△ACD＝5

∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝15.

故答案为：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）15.