Question

已知，在四边形ABCD中，点E、点F分别为AD、BC的中点，连接EF．

（1）如图1，AB∥CD，连接AF并延长交DC的延长线于点G，则AB、CD、EF之间的数量关系为　   　；

（2）如图2，∠B＝90°，∠C＝150°，求AB、CD、EF之间的数量关系？

（3）如图3，∠ABC＝∠BCD＝45°，连接AC、BD交于点O，连接OE，若AB＝，CD＝2，BC＝6，则OE＝　   　．

Answer

（1）AB+CD＝2EF；（2）4EF2＝AB2+CD2+AB•CD，证明详见解析；（3）.

【解析】

(1)根据三角形的中位线和全等三角形的判定和性质解答即可；

(2)如图2中，作CK⊥BC，连接AF，延长AF交CK于K．连接DK，作DH⊥CK于H．首先证明△AFB≌△KFC，推出AB＝CK，再利用勾股定理，三角形的中位线定理即可解决问题；

(3)如图3中，以点B为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系如图所示．想办法求出点E、O的坐标即可解决问题；

【解析】
(1)结论：AB+CD＝2EF，

理由：如图1中，

∵点E、点F分别为AD、BC的中点，

∴BF＝FC，AE＝ED，

∵AB∥CD，

∴∠ABF＝∠GCF，

∵∠BFA＝∠CFG，

∴△ABF≌△GCF（ASA），

∴AB＝CG，AF＝FG，

∵AE＝ED，AF＝FG，

∴2EF＝DG＝DC+CG＝DC+AB；

∴AB+CD＝2EF；

(2)如图2中，作CK⊥BC，连接AF，延长AF交CK于K．连接DK，作DH⊥CK于H．

∵∠ABF＝∠KCF，BF＝FC，∠AFB＝∠CFK，

∴△AFB≌△KFC，

∴AB＝CK，AF＝FK，

∵∠BCD＝150°，∠BCK＝90°，

∴∠DCK＝120°，

∴∠DCH＝60°，

∴CH＝CD，DH＝CD，

在Rt△DKH中，DK2＝DH2+KH2＝(CD)2+(AB+CD)2＝AB2+CD2+AB•CD，

∵AE＝ED，AF＝FK，

∴EF＝DK，

∴4EF2＝DK2，

∴4EF2＝AB2+CD2+AB•CD．

(3)如图3中，以点B为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系如图所示．

由题意：A(1，1)，B(0，0)，D(4，2)，

∵AE＝ED，

∴E(，)，

∵AC的解析式为y＝-x+，BD的解析式为y＝x，

由，解得，

∴O(，)，

∴OE＝＝.

故答案为：(1)AB+CD＝2EF；(2)4EF2＝AB2+CD2+AB•CD，证明详见解析；(3).