Question

如图①，点O为直线MN上一点，过点O作直线OC，使∠NOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线AB的下方，其中∠OBA=30°

（1）将图②中的三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度数；

（2）将图①中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜360°），在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；

（3）将图①中的三角尺绕点O顺时针旋转，当点A点B均在直线MN上方时（如图③所示），请探究∠MOB与∠AOC之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．

Answer

（1）∠A′ON=60°；（2）第15或秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；（3）①当OB，OA在OC的两旁时，∠MOB-∠AOC=30°，②当OB，OA在OC的同侧时，∠MOB+∠AOC=120°-90°=30°．

【解析】

（1）如图②中，延长CO到C′．利用翻折不变性求出∠A′O′C′即可解决问题；
（2）设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC．构建方程即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题；

（1）如图②中，延长CO到C′．

∵三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，

∴∠A′OC′=∠AOC′=∠CON=60°，

∴∠A′ON=180°-60°-60°=60°．

（2）设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC．

由题意10t=150或10t=330，

解得t=15或33s，

答：第15或秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；

（3）①当OB，OA在OC的两旁时，∵∠AOB=90°，

∴120°-∠MOB+∠AOC=90°，

∴∠MOB-∠AOC=30°．

②当OB，OA在OC的同侧时，∠MOB+∠AOC=120°-90°=30°．