Question

如图，Rt△AOB在平面直角坐标系中，已知：B（0，），点A在x轴的正半轴上，OA=3，∠BAD=30°，将△AOB沿AB翻折，点O到点C的位置，连接CB并延长交x轴于点D．

（1）求点D的坐标；

（2）动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿x轴的正方向运动，当△PAB为直角三角形时，求t的值；

（3）在（2）的条件下，当△PAB为以∠PBA为直角的直角三角形时，在y轴上是否存在一点Q使△PBQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）D（﹣3，0）；（2）；（3）Q的坐标为Q1（0，+2），Q2（0，），Q3（0．﹣2），Q4（0，﹣）．

【解析】

（1）根据已知得出OA、OB的值以及∠DAC的度数，进而求得∠ADC，即可求得D的坐标；

（2）根据直角三角形的判定，分两种情况讨论求得；

（3）求得PB的长，分四种情形讨论即可解决问题．

【解析】
（1）∵B（0，），

∴OB=．

∵OA=OB，

∴OA=3，

∴AC=3．

∵∠BAD=30°，

∴∠OAC=60°．

∵∠ACD=90°，

∴∠ODB=30°，

∴=，

∴OD=3，

∴D（﹣3，0）；

（2）∵OA=3，OD=3，∴A（3，0），AD=6，

∴AB=2，当∠PBA=90°时．

∵PD=2t，

∴OP=3﹣2t．

∵△OBA∽△OPB，

∴OB2=OP•OA，

∴3﹣2t==1，解得t=1，当∠APB=90°时，则P与O重合，

∴t=；

（3）存在．

①当BP为腰的等腰三角形．

∵OP=1，∴BP==2，

∴Q1（0，+2），Q3（0．﹣2）；

②当PQ2=Q2B时，设PQ2=Q2B=a，

在Rt△OPQ2中，12+（﹣x）2=x2，解得x=，

∴Q2（0，）；

③当PB=PQ4时，Q4（0，﹣）

综上所述：满足条件的点Q的坐标为Q1（0，+2），Q2（0，），Q3（0．﹣2），Q4（0，﹣）．