Question

在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；

（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标.

Answer

（1），（-1,4） （2）(-2，3)，，

（3）(-4，-5)，(，)

【解析】

（1）将A（-3，0）、B（1，0）、D(0，3)，代入y=ax2+bx+3求出即可；(2)求出直线AD的解析式，分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E，利用△ADE与△ACD面积相等，得出直线EC和直线EH的解析式，联立出方程组求解即可;(3) （3）分两种情况讨论：①点P在对称轴左侧；②点P在对称轴右侧.

（1）设抛物线的解析式为，

∵抛物线过点A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)，

∴，解得，a=-1，b=-2，c=3，

∴抛物线解析式为，顶点C（-1,4）；

（2）如图1，∵A(-3，0)，D(0，3),

∴直线AD的解析式为y=x+3，

设直线AD与CH交点为F，则点F的坐标为(-1，2)

∴CF=FH，

分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E，

由平行间距离处处相等，平行线分线段成比例可知，△ADE与△ACD面积相等，

∴直线EC的解析式为y=x+5，

直线EH的解析式为y=x+1，

分别与抛物线解析式联立，得，，

解得点E坐标为(-2，3)，，；

（3）①若点P在对称轴左侧（如图2），只能是△CPQ∽△ACH，得∠PCQ=∠CAH，

∴，

分别过点C、P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，交点为M和N，

由△CQM∽△QPN，

得=2，

∵∠MCQ=45°，

设CM=m，则MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m，

∴P点坐标为(-m-1，4-3m)，

将点P坐标代入抛物线解析式，得，

解得m=3，或m=0(与点C重合，舍去)

∴P点坐标为(-4，-5)；

②若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH，

∴，

延长CD交x轴于M，∴M(3，0)

过点M作CM垂线，交CP延长线于点F，作FNx轴于点N，

∴，

∵∠MCH=45°，CH=MH=4

∴MN=FN=2，

∴F点坐标为(5，2)，

∴直线CF的解析式为y=，

联立抛物线解析式，得，解得点P坐标为(，)，

综上所得，符合条件的P点坐标为(-4，-5)，(，).