Question

如图，在Rt△ABC中，BC＝3，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动．下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA＝3；②若AB平分CO，则AB⊥CO；③C，O两点间的最大距离是6；④斜边AB的中点D运动的路径长是π，其中正确的有（　　）

A. ①② B. ③④ C. ②③④ D. ①③④

Answer

D

【解析】

①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC和AB，由对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA=AC；
②如图2，当∠ABO=30°时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A、C、B、O四点共圆，则AB为直径，由垂径定理相关推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但AB与OC不一定垂直；
③当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；
④半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．

【解析】
在Rt△ABC中，∵BC＝3，∠BAC＝30°，

∴AB＝6，AC＝＝3，

①若C、O两点关于AB对称，

∴AB是OC的垂直平分线，

则OA＝AC＝3；

所以①正确；

②当∠ABO＝30°时，∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，

∴四边形AOBC是矩形，

∴AB与OC互相平分，

但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，

所以②不正确；

③取AB的中点为E，连接OE、CE，

∵∠AOB＝∠ACB＝90°，

∴OE＝CE＝AB＝3

∵OC≤OE+EC，

∴当OC经过点E时，OC最大，

则C、O两点距离的最大值为6；

所以③正确；

④斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以3为半径的圆周的，

则：×2π•3＝π，

所以④正确；

综上所述，本题正确的有：①③④；

故选：D．