Question

如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE²＝EG•ED．

(1)求证：DE⊥EF；

(2)求证：BC²＝2DF•BF．

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据相似三角形的性质得到∠EAG=∠ADG，求得∠DAG=∠FEG，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB=90°，于是得到结论；

（2）由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

(1)∵AF⊥BC于点F，

∴∠AFB＝90°，

∵点E是AB的中点，

∴AE＝FE，

∴∠EAF＝∠AFE，

∵AE2＝EG•ED，

∴，

∵∠AEG＝∠DEA，

∴△AEG∽△DEA，

∴∠EAG＝∠ADG，

∵∠AGD＝∠FGE，

∴∠DAG＝∠FEG，

∵四边形ABCD 是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠DAG＝∠AFB＝90°，

∴∠FEG＝90°，

∴DE⊥EF；

(2)∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，

∴FE2＝EG•ED，

∴，

∵∠FEG＝∠DEF，

∴△FEG∽△DEF，

∴∠EFG＝∠EDF，

∴∠BAF＝∠EDF，

∵∠DEF＝∠AFB＝90°，

∴△ABF∽△DFE，

∴，

∵四边形ACBD是菱形，

∴AB＝BC，

∵∠AFB＝90°，

∵点E是AB的中点，

∴FE＝AB＝BC，

∴＝，

∴BC2＝2DF•BF．