Question

定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友谊四边形”．我们熟知的平行四边形就是“友谊四边形”，

（1）如图1，在4×4的正方形网格中有一个Rt△ABC，请你在网格中找格点D，使得四边形ABCD是被AC分割成的“友谊四边形”，（要求画出点D的2种不同位置）

（2）如图2，BD平分∠ABC，BD＝4，BC＝8，四边形ABCD是被BD分割成的“友谊四边形”，求AB长；

（3）如图3，圆内接四边形ABCD中，∠ABC＝60，点E是的中点，连结BE交CD于点F，连结AF，∠DAF＝30°

①求证：四边形ABCF是“友谊四边形”；

②若△ABC的面积为6，求线段BF的长．

Answer

（1）详见解析；（2）AB＝6或8．（3）①详见解析；②2

【解析】

（1）由题意可找到点D位置；
（2）分△ABD∽△CBD，△ABD∽△DBC两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AB的长度；
（3）①由题意可得∠ABE=∠EBC=30°，由三角形内角和定理和圆的内接四边形性质可得∠BAF=∠BFC，可证△ABF∽△FBC，即四边形ABCF是“友谊四边形”；
②由相似三角形的性质可得BF2=AB•BC，由三角形面积公式可求AB×BC=6，即可求BF的长．

【解析】
（1）画出点D的2个位置．

（2）∵四边形ABCD为被BD分割的友谊四边形

∴△ABD与△DBC相似，

若△ABD∽△CBD

则

∴AB＝BC＝8

若△ABD∽△DBC

则

∴AB＝＝6

综上所述：AB＝6或8．

（3）①∵E是的中点，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝30°，

∴∠C+∠BFC＝150°，

∵四边形ABCD内接于圆O，

∴∠BAD+∠C＝180°，

∵∠DAF＝30°，

∴∠C+∠BAF＝150°，且∴∠C+∠BFC＝150°，

∴∠BAF＝∠BFC，且∠ABE＝∠CBE

∴△ABF∽△FBC．

∴四边形ABCF为友谊四边形

②如图，过点A作AG⊥BC交BC与G，连接AC，

∵△ABF∽△FBC，

∴

∴BF2＝AB•BC，

∵S△ABC＝BC×AG＝BC×AB×sin60°＝6

∴AB×BC＝6

∴AB×BC＝24＝BF2，且BF＞0，

∴BF＝2