Question

如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15^o,E为AD延长线上的一点,且CE=CA,若点M在DE上,且DC=DM。则下列结论:①∠ADB=120°；②△ADC≌△BDC；③线段DC所在的直线垂直平分AB；④ME=BD；正确的有（   ）

A. 1个 B. 4个 C. 2个 D. 3个

Answer

B

【解析】

连接CM，求出∠DAB=∠DBA=30°，即可得∠ADB=120°；求出AD=BD，可证△ADC≌△BDC；求出∠ACD=∠BCD=45°，根据等腰三角形三线合一可得线段DC所在的直线垂直平分AB；求出∠MDC=60°，得等边三角形CMD，得出CM=CD，求出∠EMC=∠ADC=120°，证△ADC≌△EMC，推出AD=EM即可．

【解析】
连接MC，在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，

∴∠ADB=120°，故①正确；
∴BD=AD，

又∵AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，
∴△BDC≌△ADC（SSS），故②正确；
∴∠DCA=∠DCB=45°，即CD平分∠BCA，

∴线段DC所在的直线垂直平分AB，（等腰三角形三线合一），故③正确；
∴∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∵DC=DM，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=DB，
∴ME=BD，故④正确．

正确的有：①②③④.

故选B.