Question

如图，AD是∠BAC平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F，AD与CE交于点G，与EF交于点H．

（1）证明：AD垂直平分CE；

（2）若∠BCE=40°，求∠EHD的度数．

Answer

(1)见解析；（2）50°．

【解析】

(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论；(2)由(1)可知点D为CE垂直平分线上的点，则CD=DE，∠DCE=∠DEC.由EF∥BC，可得EG平分∠DEF；由EG⊥AD，可证∠EDH=∠EHD，根据内角和定理，即可得出结论.

【解析】
(1)∵AE=AC，AD是∠BAC平分线，

∴AD垂直平分CE；

(2)由(1)可知点D为CE垂直平分线上的点，

∴CD=DE，

∴∠DCE=∠DEC．

∵EF∥BC，

∴∠DCE=∠CEF=∠DEC，

∴EG平分∠DEF．

∵EG⊥AD，EG=EG，

∴△DEG≌△HEG(ASA),

∴△DEH是等腰三角形，且ED=EH，

∴∠EDH=∠EHD，

∵∠BCE=40°，

∴∠DEH=2∠BCE=80°，

∴∠EHD=(180°﹣80°)=50°．