Question

已知如图,在△ABC中,AB=AC,点D是线段BC上一个动点,以AD为腰在线段AD的右侧作△ADE,且AD=AE。

(1)如图①,当∠BAC=∠DAE=90°时,试判断线段BD和CE有什么关系,并给出证明:

(2)在(1)的条件下,若BC=4.试判断四边形ADCE的面积是否发生变化,若不变,求出四边形ADCE的面积;若变化,请说明理由;

(3)如图②,若∠BAC=∠DAE=120°,BC=4,试探索△DCE的面积是否存在最大值,若存在,求出此时∠DEC的度数,若不存在,请说明理由。

Answer

（1）BD=CE，证明见解析；（2）不变，4；（3）存在，60°.

【解析】

（1）根据同角的余角相等，可得∠BAD=∠CAE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；

（2）由（1）得 ，所以 ，可得出四边形ADCE的面积不发生变化，根据等腰直角三角形的性质得出斜边BC上的高，即可求出面积；

（3）由 ， 可得的值最小时△DCE的面积存在最大值，由垂线段最短可得AD⊥BC时AD=AE的值最小，则的值最小，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可求∠DEC的度数.

（1）BD=CE.

证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△DAB与△EAC中，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=CE；

（2）∵△DAB≌△EAC

∴

∵

∴ ，即四边形ADCE的面积不发生变化；

∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=4

∴Rt△ABC斜边上的高=2

∴

（3）由（2）得

∵

∴的值最小时△DCE的面积存在最大值，

由垂线段最短可得AD⊥BC时AD=AE的值最小，则的值最小，如下图，

∵∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC，AD=AE

∴∠B=∠ACB=∠AED=30°, ∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△DAB与△EAC中，
∴△DAB≌△EAC（SAS），

∵△DAB≌△EAC，AD⊥BC

∴∠AEC=∠ADB=90°

∴ ∠DEC=90°-30°=60°.

故答案为：（1）BD=CE，证明见解析；（2）不变，4；（3）存在，60°.