Question

如图，四边形是矩形，点、在坐标轴上， 是绕点顺时针旋转得到的，点在轴上，直线交轴于点，交于点，线段，．

（1）求直线的解析式；

（2）求的面积；

（3）点在轴上，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2） ；（3）或或．

【解析】

（1）可求得、的坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；

（2）可求得点坐标，求出直线的解析式，联立直线、解析式可求得点的横坐标，可求得的面积；

（3）当为直角三角形时，可找到满足条件的点，分、和三种情况，分别求得点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得点坐标．

【解析】
（1），，

，

是绕点顺时针旋转得到的，

，，

，

设直线解析式为，

把、坐标代入可得，

解得，

直线的解析式为；

（2）由（1）可知，

设直线解析式为，

把点坐标代入可求得，

直线解析式为，

令，解得，

点到轴的距离为，

又由（1）可得，

，

；

（3）以点、、、为顶点的四边形是矩形，

为直角三角形，

①当时，则只能在轴上，连接交于点，如图1，

该情况不符合题意．

②当时，则只能在轴上，连接交于点，如图2，

则有，

，即，解得，

，且，

，则，

，

设点坐标为，则，，

解得，，此时；

③当时，则可知点为点，如图，

四边形为矩形，

，，

可求得；

综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或．