Question

已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED =∠ABE +∠EDC．

（1）如图1，求证：AB//CD；

（2）如图2，若∠ABE=3∠ABF，且∠BFD=30°时，试求的值；

（3）如图3，若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD，画出图形，并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）∠BHD=2∠EBI或∠BHD+2∠EBI=180°．

【解析】

（1）由∠BED =∠ABE +∠EDC和三角形内角和定理即可得到∠ABD+∠BDC=180°，再由同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；

（2）由角平分线定义和∠ABD+∠BDC=180°，得到∠BED=∠ABE+∠EDC=90°．

设∠ABF=α，则∠ABE=3α，过F作FG∥AB，则有∠ABF+∠CDF=∠BFD，得到∠CDF=30°-α．过E作EH∥AB，同理可得：∠CDE=90°-3α，根据角的和差得到∠FDE=60°-2α，即可得到结论；

（3）分两种情况讨论：①当H在点D的左边时，②当H在点D右边时．

（1）∵∠BED =∠ABE +∠EDC，∠EBD+∠BED+∠BDE=180°，∴∠ABD+∠BDC=180°，∴AB∥CD；

（2）∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABE=∠EBD，∠EDC=∠EDB．

∵∠ABD+∠BDC=180°，∴∠BED=∠ABE+∠EDC=90°．

设∠ABF=α，则∠ABE=3α．

过F作FG∥AB，则有：∠ABF+∠CDF=∠BFD，∴∠CDF=30°-α．

过E作EH∥AB，则有：∠ABE+∠CDE=∠BED，∴∠CDE=90°-3α，∴∠FDE=60°-2α，∴．

（3）分两种情况讨论：

①当H在点D的左边时，如图3．

设∠HBI=∠DBI=x，∠EBH=y，则∠EBD=2x+y，∴∠ABE=∠EBD=2x+y．

∵AB∥CD，∴∠BHD=∠ABH=2x+y+y=2（x+y）=2∠EBI；

②当H在点D右边时，如图4．

设∠HBI=∠DBI=x，∠EBD=y，则∠EBI=x+y，∴∠ABH=2x+2y．

∵AB∥CD，∴∠ABH+∠BHD=180°，∴2x+2y+∠BHD=180°，∴∠BHD+2∠EBI=180°．

综上所述：∠BHD=2∠EBI或∠BHD+2∠EBI=180° ．