Question

在平面直角坐标系中，A(6，a)，B(b，0)，M(0，c)，P点为y轴上一动点，且(b﹣2)²+|a﹣6|+＝0．

(1)求点B、M的坐标；

(2)当P点在线段OM上运动时，试问是否存在一个点P使S_△PAB＝13，若存在，请求出P点的坐标与AB的长度；若不存在，请说明理由．

(3)不论P点运动到直线OM上的任何位置(不包括点O、M)，∠PAM、∠APB、∠PBO三者之间是否都存在某种固定的数量关系，如果有，请利用所学知识找出并证明；如果没有，请说明理由．

Answer

（1）M（0，6），B（2，0），A（6，6）；（2）AB=2；（3）①当点P在线段OM上时，结论：∠APB+∠PBO=∠PAM；理由见解析；②当点P在MO的延长线上时，结论：∠APB+∠PBO=∠PAM．理由见解析；③当点P在OM的延长线上时，结论：∠PBO=∠PAM+∠APB．理由见解析；

【解析】

（1）利用非负数的性质，求出a、b、c即可解决问题；

（2）设P（0，m）．根据S△PAB=S梯形AMOB-S△APM-S△PBO，构建方程即可解决问题；

（3）分三种情形，分别画出图形解决问题即可．

（1）∵（b-2）2+|a-6|+=0，

又∵（b-2）2，≥0，|a-6|≥0，≥0，

∴a=6，b=2，c=6．

∴M（0，6），B（2，0），A（6，6），

（2）设P（0，m）．

∵S△PAB=13，四边形AMOB是直角梯形，

∴•（6+2）•6-•m•2-•（6-m）•6=13，

∴m=，

∴P（0，），

AB==2．

（3）①如图2-1中，当点P在线段OM上时，结论：∠APB+∠PBO=∠PAM；

理由：作PQ∥AM，则PQ∥AM∥ON，

∴∠1=∠PAM，∠2=∠PBO，

∴∠1+∠2=∠PAM+∠PBO，

即∠APB=∠PAM+∠PBO，

∠APB+∠PBO=∠PAM；

②如图2-2中所示，当点P在MO的延长线上时，结论：∠APB+∠PBO=∠PAM．

理由：∵AM∥OB，

∴∠PAM=∠3，

∵∠3=∠APB+∠PBO，

∴∠APB+∠PBO=∠PAM．

③如图2-3中，当点P在OM的延长线上时，结论：∠PBO=∠PAM+∠APB．

理由：∵AM∥OB，

∴∠4=∠PBO，

∵∠4=∠PAM+∠APB，

∴∠PBO=∠PAM+∠APB．