Question

为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．莫小贝按照政策投资销售本市生产的一种品牌衬衫．已知这种品牌衬衫的成本价为每件120元，出厂价为每件165元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣3x+900．

（1）莫小贝在开始创业的第1个月将销售单价定为180元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设莫小贝获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种品牌衬衫的销售单价不得高于250元，如果莫小贝想要每月获得的利润不低于19500元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？

Answer

（1）政府这个月为他承担的总差价为16200元；（2）当销售单价定为210元时，每月可获得最大利润24300元；（3）销售单价定为250元时，政府每个月为他承担的总差价最少为6750元．

【解析】

（1）把x=180代入y=-3x+900求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由总利润=销售量•每件纯赚利润，得w=（x-120）（-3x+900），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令-3（x-210）2+24300=10450，求出x的值，求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．

【解析】
（1）当x＝180时，y＝﹣3x+900＝﹣3×180+900＝360，

360×（165﹣120）＝16200，即政府这个月为他承担的总差价为16200元．

（2）依题意得，

w＝（x﹣120）（﹣3x+900）＝﹣3（x﹣210）2+24300

∵a＝﹣3＜0，

∴当x＝210时，w有最大值24300．

即当销售单价定为210元时，每月可获得最大利润24300元．

（3）由题意得：﹣3（x﹣210）2+24300＝19500，

解得：x1＝250，x2＝170．

∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，

∴当170≤x≤250时，w≥19500．

设政府每个月为他承担的总差价为p元，

∴p＝（165﹣120）×（﹣3x+900）＝﹣135x+40500．

∵k＝﹣135＜0．

∴p随x的增大而减小，

∴当x＝250时，p有最小值＝6750．

即销售单价定为250元时，政府每个月为他承担的总差价最少为6750元．