Question

△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．

（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．

①求证：△AEB≌△ADC；

②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；

（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．

Answer

（1）①见解析，②四边形BCGE是平行四边形，见解析；（2）①②都成立；（3）当CD＝CB （∠CAD＝30°或∠BAD＝90°或∠ADC＝30°）时，四边形BCGE是菱形，见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°，然后求出∠BAE＝∠CAD，再利用“边角边”证明△AEB和△ADC全等；②四边形BCGE是平行四边形，因为△AEB≌△ADC，所以可得∠ABE＝∠C＝60°，进而证明∠ABE＝∠BAC，则可得到EB∥GC又EG∥BC，所以四边形BCGE是平行四边形；

（2）根据（1）的思路解答即可．（3）当CD＝CB时，四边形BCGE是菱形，由（1）可知△AEB≌△ADC，可得BE＝CD，再证明BE＝CB，即邻边相等的平行四边形是菱形．

证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°．

又∵∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，

∴∠EAB＝∠DAC，

∴△AEB≌△ADC（SAS）．

②方法一：由①得△AEB≌△ADC，

∴∠ABE＝∠C＝60°．

又∵∠BAC＝∠C＝60°，

∴∠ABE＝∠BAC，

∴EB∥GC．

又∵EG∥BC，

∴四边形BCGE是平行四边形．

方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG＝AB＝BC．

∵EG∥BC，

∴四边形BCGE是平行四边形．

（2）①②都成立．

（3）当CD＝CB （∠CAD＝30°或∠BAD＝90°或∠ADC＝30°）时，四边形BCGE是菱形．

理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，

∴BE＝CD

又∵CD＝CB，

∴BE＝CB．

由②得四边形BCGE是平行四边形，

∴四边形BCGE是菱形．

方法二：由①得△AEB≌△ADC，

∴BE＝CD．

又∵四边形BCGE是菱形，

∴BE＝CB

∴CD＝CB．

方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，

∴BE∥CG，EG∥BC，

∴∠FBE＝∠BAC＝60°，∠F＝∠ABC＝60°

∴∠F＝∠FBE＝60°，∴△BEF是等边三角形．

又∵AB＝BC，四边形BCGE是菱形，

∴AB＝BE＝BF，

∴AE⊥FG

∴∠EAG＝30°，

∵∠EAD＝60°，

∴∠CAD＝30°．