Question

如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．

（1）求证：EF＝MF；（2）当AE＝1时，求EF的长．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由旋转的性质可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF；

（2）由第一问的全等得到AE＝CM＝1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．

（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，

∴DE＝DM，∠EDM＝90°，

∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝45°，

∴∠EDF＝∠FDM．

又∵DF＝DF，DE＝DM，

∴△DEF≌△DMF，

∴EF＝MF；

（2）【解析】
设EF＝MF＝x，

∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，

∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，

∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．

在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，

即22+（4﹣x）2＝x2，

解得：x＝，

则EF的长为.