Question

已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．

（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；

（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；

（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF的长．

Answer

（1）DM⊥EM，DM=EM，理由见解析； （2）DM⊥EM，DM=EM，理由见解析；（3）满足条件的MF的值为或．

【解析】（1）结论：DM⊥EM，DM=EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH=ME，AH=EF=EC，推出DH=DE，因为∠EDH=90°，可得DM⊥EM，DM=ME；

（2）结论不变，证明方法同（1）类似；

（3）分两种情形画出图形，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可.

（1）结论：DM⊥EM，DM=EM，

理由：如图1中，延长EM交AD于H，

∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，

∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH=∠MFE，

∵AM=MF，∠AMH=∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH=ME，AH=EF=EC，

∴DH=DE，

∵∠EDH=90°，

∴DM⊥EM，DM=ME；

（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM=EM，

理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H，

∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，

∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH=∠MFE，

∵AM=MF，∠AMH=∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH=ME，AH=EF=EC，

∴DH=DE，

∵∠EDH=90°，

∴DM⊥EM，DM=ME；

（3）如图3中，作MR⊥DE于R，

在Rt△CDE中，DE==12，

∵DM=NE，DM⊥ME，

∴MR=⊥DE，MR=DE=6，DR=RE=6，

在Rt△FMR中，FM=，

如图4中，作MR⊥DE于R，

在Rt△MRF中，FM=，

故满足条件的MF的值为或．