Question

如图，已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象经过点（0，3），（x₁，0），其中，2＜x₁＜3，对称轴为x＝1，则下列结论：①2a﹣b＝0； ②x（ax+b）≤a+b；③方程ax²+bx+c﹣3＝0的两根为x₁'＝0，x₂'＝2；④﹣3＜a＜﹣1．其中正确的是（　　）

A. ②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ②③

Answer

D

【解析】

利用抛物线对称轴得到b＝﹣2a，则可对①进行判断；利用二次函数的最值问题得到x＝1时，y的值最大，从而可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到点（0，3）关于直线x＝1的对称点的坐标为（1，3），即x＝0或x＝1时，ax2+bx+c＝3，则可对③进行判断；利用2＜x1＜3，则当x＝3时，9a+3b+c＜0，把c＝3，b＝﹣2a代入得到a的范围，则可对④进行判断．

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①错误；

∵x＝1时，y的值最大，

∴ax2+bx+c＜a+b+c，

即x（ax+b）≤a+b，所以②正确；

∵点（0，3）关于直线x＝1的对称点的坐标为（2，3），

即x＝0或x＝2时，ax2+bx+c＝3，

∴方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1'＝0，x2'＝2，所以③正确；

∵2＜x1＜3，

∴当x＝3时，y＜0，

即9a+3b+c＜0，

而c＝3，b＝﹣2a，

∴9a﹣6a+3＜0，解得a＜﹣1，所以④错误．

故选：D．