Question

如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为_____．

Answer

4.8≤EF≤10

【解析】

根据已知条件得到△ECF是直角三角形，推出点C在以EF为直径的圆上，设以EF为直径的圆的圆心为O，当⊙O于AB相切时，以EF为直径的圆经过AB上的唯一一点D，连接CD，则CD⊥AB，且CD过圆心，求得EF＝CD＝＝4.8，当⊙O经过A，B时，则EF＝AB＝10，于是得到结论．

∵∠C＝90°，E，F分别在边AC，BC上，

∴△ECF是直角三角形，

∴点C在以EF为直径的圆上，

设以EF为直径的圆的圆心为O，

当⊙O于AB相切时，以EF为直径的圆经过AB上的唯一一点D，

连接CD，则CD⊥AB，且CD过圆心，

∴EF＝CD，

∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝10，

∴EF＝CD＝＝4.8，

当⊙O经过A，B时，则EF＝AB＝10，

故EF长的取值范围为：4.8≤EF≤10．

故答案为：4.8≤EF≤10．