Question

已知y关于x二次函数y＝x²﹣（2k+1）x+（k²+5k+9）与x轴有交点．

（1）求k的取值范围；

（2）若x₁，x₂是关于x的方程x²﹣（2k+1）x+（k²+5k+9）＝0的两个实数根，且x₁²+x₂²＝39，求k的值．

Answer

（1）k≤﹣；（2）k＝﹣4．

【解析】

（1）利用判别式的意义得到[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+5k+9）≥0，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+5k+9，再利用x12+x22＝39得到（2k+1）2﹣2（k2+5k+9）＝39，然后解方程后利用（1）的范围确定k的值．

【解析】
（1）∵y关于x二次函数y＝x2﹣（2k+1）x+（k2+5k+9）与x轴有交点，

∴△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+5k+9）≥0，

解得k≤﹣；

（2）根据题意可知x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+5k+9，

∵x12+x22＝39，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝39，

∴（2k+1）2﹣2（k2+5k+9）＝39，解得k1＝7，k2＝﹣4，

∵k≤﹣，

∴k＝﹣4．