Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且弧CB=弧CD，CE⊥DA交DA的延长线于点E．

（1）求证：∠CAB＝∠CAE；

（2）求证：CE是⊙O的切线；

（3）若AE＝1，BD＝4，求⊙O的半径长．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）连接BD，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得∠CAB＝∠CAE；

（2）连接OC，由题意可得∠ACB＝90°＝∠AEC，即可证∠BCO＝∠ACE＝∠ABC，可得∠ECO＝∠ACB＝90°，则可证CE是⊙O的切线；

（3）过点C作CF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得CE＝CF，可证△CED≌△CFB，可得DE＝BF，根据勾股定理可求⊙O的半径长．

证明：（1）连接BD

∵弧CB=弧CD，

∴∠CDB＝∠CBD，CD＝BC

∵四边形ACBD是圆内接四边形

∴∠CAE＝∠CBD，且∠CAB＝∠CDB，

∴∠CAB＝∠CAE；

（2）连接OC

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°＝∠AEC，

又∵∠CAB＝∠CAE，

∴∠ABC＝∠ACE，

∵OB＝OC，

∴∠BCO＝∠CBO，

∴∠BCO＝∠ACE，

∴∠ECO＝∠ACE+∠ACO＝∠BCO+∠ACO＝∠ACB＝90°，

∴EC⊥OC，

∵OC是⊙O的半径，

∴CE是⊙O的切线．

（3）过点C作CF⊥AB于点F，

又∵∠CAB＝∠CAE，CE⊥DA，

∴AE＝AF，

在△CED和△CFB中，

∵∠DEC=∠BFC=90°，

∠EDC=∠BFC，

CD=BC，

∴△CED≌△CFB（AAS），

∴ED＝FB，

设AB＝x，则AD＝x﹣2，

在△ABD中，由勾股定理得，x2＝（x﹣2）2+42，

解得，x＝5，

∴⊙O的半径的长为．