Question

如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在CB，CA上，且CD＝CE，连AD，BE，F为AD的中点，连CF．

（1）求证：CF＝BE，且CF⊥BE；

（2）将△CDE绕点C顺时针旋转一个锐角（如图2），其它条件不变，此时（1）中的结论是否仍成立？并证明你的结论．

Answer

（1见解析；（2）仍成立．

【解析】

（1）只要证明△ACD≌△BCE（SAS），即可解决问题；

（2）此时仍有CF＝BE、CF⊥BE．如图2中，延长CF至G，使FG＝CF，连接GA，只要证明△DFC≌△AFG（SAS），△BCE≌△CAG（SAS），即可解决问题；

【解析】
（1）如图1中，

在△ACD和△BCE中，

∵CA=CB，

∠ACD=∠BCE，

CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE、∠CAD＝∠CBE，

∵F为AD中点，∠ACD＝90°，

∴FC＝AF＝AD，

∴CF＝BE，∠CAD＝∠ACF，

∴∠CBE＝∠ACF，

∴∠CBE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠BCE＝90°，

∴CF⊥BE；

（2）此时仍有CF＝BE、CF⊥BE．

理由：如图2中，延长CF至G，使FG＝CF，连接GA，

在△CDF和△GAF中，

∵DF=AF，

∠DFC=∠AFG，

CF=AF，

∴△DFC≌△AFG（SAS），

∴GA＝CD，∠FDC＝∠FAG，

∴AG∥DC，AG＝CE，

∴∠GAC+∠DCA＝180°，

又∵∠BCE+∠DCA＝∠BCA+∠ACD+∠ECA＝∠BCA+∠ECD＝180°，

∴∠GAC＝∠BCE，

在△BCE和△CAG中，

∵BC=CA，

∠BCE=∠CAG，

CE=AG，

∴△BCE≌△CAG（SAS），

∴CG＝BE，∠CBE＝∠ACG，

∴CF＝BE，∠CBE+∠BCF＝∠BCA＝90°，

∴CF⊥BE．