Question

如图1，抛物线y＝ax²+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OA．

（1）求抛物线解析式；

（2）过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N．已知M点的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的长最大时S的值；

（3）如图2，D（0，﹣2），连接BD，将△OBD绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′．若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）MN＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），S△ACM＝，m＝﹣时，MN最大，此时S＝；（3）P（-，）．

【解析】

（1）先求出点A坐标，再运用待定系数法求解即可；

（2）先求出直线AC的解析式，待定点M，N的坐标，用m表示线段MN的长度，运用二次函数分析其最值即可；

（3）根据中心对称的性质，明确B′D′与BD平行且相等，待定点B′、D′的坐标，代入抛物线解析式求解即可得出B′、D′的坐标，而后运用中点公式求出中心的坐标即可；

【解析】
（1）由A（﹣3，0），且OC＝OA可得

A（﹣3，0）

设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），

将C（0，3）代入解析式得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）如图1，

设直线AC解析式为y＝kx+d

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴ ，

解得 ，

∴直线AC解析式为y＝x+3，

设M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（m，m+3），则MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），

S△ACM＝S△AMN+S△CMN＝MN×3＝，

MN＝﹣m2﹣3m＝﹣+，

∵a＝﹣1＜0，﹣3＜m＝﹣1.5＜0，

∴m＝﹣时，MN最大，此时S＝；

（3）如图2中，旋转180°后，对应线段互相平行且相等，则BD与B′D′互相平行且相等．

∵O′B′＝OB＝1，O′D′＝OD＝2，

设B′（t，﹣t2﹣2t+3），则D′（t+1，﹣t2﹣2t+3+2）

∵D′在抛物线上，则﹣（t+1）2﹣2（t+1）+3＝﹣t2﹣2t+3+2，

解得，t＝-，则B′的坐标为（-，），

P是点B（1，0）和点B′（-，），的对称中心，

，，

∴P（-，）．