Question

猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片．(已知：AC＝40，BC＝30，∠C＝90°)

(1)如图①，若截取△ABC的内接正方形DEFG，请你求出此正方形的边长；

(2)如图②，若在△ABC内并排截取两个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，请你求此正方形的边长；

(3)如图③，若在△ABC内并排截取三个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，请你求此正方形的边长；

(4)猜想：如图④，假设在△ABC内并排截取n个相同的正方形，使它们组成的矩形内接于△ABC，则此正方形的边长是多少？

Answer

（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】

（1）根据题意画出图形，作CN⊥AB，再根据GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，设出正方形的边长为x，根据相似三角形的性质得到比例式，进而列出关于x的方程，求出方程的解，即可求出正方形的边长；

（2）作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长；

（3）作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长；

（4）同理可得正方形的边长．

（1）在图1中作△ABC的高CN交GF于M．在Rt△ABC中，∵AC=40，BC=30，∴AB=50，CN==24．

由GF∥AB，得：△CGF∽△CAB，∴．

设正方形的边长为x，则，解得：．

即正方形的边长为．

（2）方法同（1），如图2．

△CGF∽△CAB，则．

设小正方形的边长为x，则，解得：．

即小正方形的边长为．

（3）在图3中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．

∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴=，设每个正方形的边长为x，则=，∴x=；

（4）设每个正方形的边长为x，同理得到：

则=，则x=，∴每个小正方形的边长为．