Question

如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，若∠ADB是直角.

求证：四边形BFDE是菱形．

Answer

见解析

【解析】

先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．

详证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵BE=AB，DF=CD，

∴BE=DF，

又∵AB∥CD，

∴BE∥DF，BE=DF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

连接EF，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，

∴DF∥AE，DF=AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∴EF∥AD，

∵∠ADB是直角，

∴AD⊥BD，

∴EF⊥BD，

又∵四边形BFDE是平行四边形，

∴四边形BFDE是菱形．