Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠A＝2∠CBF．

(1)求证：BF与⊙O相切．

(2)若BC＝CF＝4，求BF的长度．

Answer

（1）证明见解析；（2）BF=4.

【解析】

（1）连接AE，根据三角形的性质求出∠AEB=90°，根据切线的判定定理证明即可；
（2）结合图形根据直角三角形的性质求出BF．

（1）连接AE，如图，

∵AB为直径，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BC，

∵AB=AC，

∴BE=CE，AE平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∵∠BAC=2∠4，

∴∠1=∠4，

∵∠1+∠3=90°，

∴∠3+∠4=90°，

∴AB⊥BF，

∴BF与⊙O相切；

（2）∵BC=CF=4，

∴∠F=∠4，

而∠BAC=2∠4，

∴∠BAC=2∠F，

∴∠F=30°，∠BAC=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴AB=AC=4，

∴BF===4．