Question

点D在∠ABC内，点E为边BC上一点，连接DE、CD．

（1）如图1，连接AE，若∠AED=∠A+∠D，求证：AB//CD．

（2）在（1）的结论下，过点A的直线MA//ED．

①如图2，当点E在线段BC上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量关系；

②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量关系．

Answer

（1）证明见解析；（2）①∠MAB=∠CDE；②∠CDE+∠MAB=180°．

【解析】

（1）过E作EF∥AB，则∠A=∠AEF，由∠D=∠AED﹣∠A，∠DEF=∠AED﹣∠AEF，即可得到∠D=∠DEF，进而得出EF∥CD，即可得到AB∥CD；

（2）①根据∠AED=∠BAE+∠D，∠MAE=∠BAE+∠BAE，即可得到∠D=∠BAM，即可得到结论；

②延长MA交BC于F，依据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠D=∠BAF，再根据邻补角互补即可得到∠CDE+∠MAB=180°．

（1）如图1，过E作EF∥AB，则∠A=∠AEF．

∵∠AED=∠A+∠D，∴∠D=∠AED﹣∠A．

又∵∠DEF=∠AED﹣∠AEF，∴∠D=∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；

（2）①∵AM∥DE，∴∠MAE=∠AED．

∵∠AED=∠BAE+∠D，∠MAE=∠BAE+∠BAE，∴∠D=∠BAM，即∠MAB=∠CDE；

②如图3，延长MA交BC于F．

∵MA∥ED，∴∠DEC=∠MFB．

∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∴∠D=∠BAF．

又∵∠BAF+∠MAB=180°，∴∠CDE+∠MAB=180°．