Question

已知a、b、c为三角形的三边，求证：方程a²x²(a²+c²b²)x+c²=0没有实数根.

Answer

详见解析．

【解析】

将根的判别式△=(a2+c2b2)24a2c2运用平方差公式和完全平方公式进行变形，再根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可以得到△＜0.

【解析】
∵a，b，c为△ABC的三边长，

∴a2≠0．

∴△=(a2+c2b2)24a2c2

=(a2+c2b2+2ac)(a2+c2b22ac)

=[(a+c)2b2][(ac)2b2]，

=(a+b+c)(a+cb)(ac+b)(acb)，

又∵三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

∴a+b+c >0， a+cb >0， ac+b >0， acb <0，

∴(a+b+c)(a+cb)(ac+b)(acb)<0

∴△＜0，∴原方程没有实数根．