Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G．

(1)求∠DGE的度数；

(2)若＝，求的值；

(3)记△CFB，△DGO的面积分别为S₁，S₂，若＝k，求的值．(用含k的式子表示)

Answer

(1)∠DGE＝60°；(2)；(3)=.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；
（2）根据题意，三角形相似、勾股定理可以求得的值；
（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出的值．

【解析】
(1)∵BC＝OB＝OC，

∴∠COB＝60°，

∴∠CDB＝∠COB＝30°，

∵OC＝OD，点E为CD中点，

∴OE⊥CD，

∴∠GED＝90°，

∴∠DGE＝60°；

(2)过点F作FH⊥AB于点H

设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3

∵∠COB＝60°

∴OH＝OF＝1，

∴HF＝OH＝，HB＝OB﹣OH＝2，

在Rt△BHF中，BF，

由OC＝OB，∠COB＝60°得：∠OCB＝60°，

又∵∠OGB＝∠DGE＝60°，

∴∠OGB＝∠OCB，

∵∠OFG＝∠CFB，

∴△FGO∽△FCB，

∴$\frac{O F}{B F}=\frac{G F}{C F}$，

∴GF＝$\frac{2}{\sqrt{7}}$，

∴=.

(3)过点F作FH⊥AB于点H，

设OF＝1，则CF＝k，OB＝OC＝k+1，

∵∠COB＝60°，

∴OH＝OF=，

∴HF＝，HB＝OB﹣OH＝k+，

在Rt△BHF中，

BF＝，

由(2)得：△FGO∽△FCB，

∴，即，

∴GO，

过点C作CP⊥BD于点P

∵∠CDB＝30°

∴PC＝CD，

∵点E是CD中点，

∴DE＝CD，

∴PC＝DE，

∵DE⊥OE，

∴===