Question

如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（a，0）、B(b，O)分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且，点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度沿x轴正半轴方向运动．

(1)求点A、B的坐标；

(2)连接PB，设三角形ABP的面积为s，点P的运动时间为t，请用含t的式子表示s，并直接写出t的取值范围；

(3)在(2)的条件下，将线段OB沿x轴正方向平移，使点O与点A重合，点B的对应点为点D，连接BD，将线段PB沿x轴正方向平移，使点B与点D重合，点P的对应点为点Q，取DQ的中点H，是否存在t的值，使三角形ABP的面积等于三角形ADH的面积？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）A（4，0），B（0，3）；（2）①当P在线段OA上时，S＝（）；②当P在线段OA的延长线上时，S＝（）；（3）①当P在线段OA上时， ；②当P在线段OA的延长线上时，t=4

【解析】（1）根据非负数的性质，构造二元一次方程组求解得到a、b的值即可；

（2）由题意得，OP=，分两种情况：①当P在线段OA上时，②当P在线段OA的延长线上时，求解即可；

（3）由题意得，BD=OA，BD=PQ，OB=AD ，根据中点的性质，得到DH=HQ，过点A作AM⊥DQ于点M，得到S△AHQ= S△ADH．然后分为①当P在线段OA上时，②当P在线段OA的延长线上时，由三角形的面积求解即可.

（1）【解析】
∵

∴．

解得．

∴A（4，0），B（0，3）．

（2）由题意得，OP=，

①当P在线段OA上时，AP=4-

∴S=×AP×OB=×（4-）×3=（）．

②当P在线段OA的延长线上时，AP=-4

∴S=×AP×OB=×（-4）×3=（）．

（3）由题意得，BD=OA，BD=PQ，OB=AD

∴OA=PQ

∵点H为DQ的中点

∴DH=HQ

过点A作AM⊥DQ于点M

∴S△AHQ=HQ×AM，S△ADH=DH×AM

∴S△AHQ= S△ADH．

①当P在线段OA上时，

∴OA-PA=PQ-PA

即 OP=AQ

∵OB∥AD

∴∠DAQ=90°

∴S△ADQ=S△OBP

∴S△ADH=S△ADQ=S△BOP．

即 =××3×

．

②当P在线段OA的延长线上时

∴OA+PA=PQ+PA

即 OP=AQ

∵OB∥AD

∴∠DAQ=90°

∴S△ADQ=S△OBP

∴S△ADH=S△ADQ=S△BOP

即 =××3×

t.