Question

如图1所示，点P是线段AB的中点，且AB=12，现分别以AP，BP为边，在AB的同侧作等边△MAP和△NBP，连结MN。

(1)请只用不含刻度的直尺在图1中找到△MNP外接圆的圆心O，并保留作图痕迹；

(2)若将“点P是线段AB的中点”改成“点P是线段AB上异于端点的任意一点”，其余条件不变(如图2)，请用文字写出△MNP外接圆圆心O的位置，并求出该圆半径的最小值.

     

Answer

(1)见解析；(2)见解析；r=2.

【解析】

(1)连接,它们的交点即为外接圆的圆心O.

(2) 分别作∠A与∠B角平分线，交点为O．由三线合一可知AP与BP为CD、CE垂直平分线；再由垂径定理可知圆心O在CD、CE垂直平分线上，即圆心O是一个定点，连OC，若半径OC最短，则OC⊥AB，由△AOB为底边6，底角30°的等腰三角形，由此即可解决问题．

(1)如图所示：点O即为所求，

(2) 分别作∠A与∠B角平分线，交点为O，连接OP，

∵△APM和△BPN都是等边三角形，

∴AO与BO分别为PM、PN的垂直平分线.

∵圆心O在PM、PN垂直平分线上，即圆心O是一个定点，

若半径OP最短，则OP⊥AB.

又∵

∴OA=OB，

∴

∴在直角△AOP中,

当OP⊥AB时，半径最短此时，r=2