Question

如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为　(      )

A.  B.  C.  D.

Answer

A

【解析】

根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AMEF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得到四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．

在△ABC中，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．

又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．

∵M是EF的中点，∴AMEFAP．

因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，∴AM的最小值是．

故选A．