Question

把任意一个各个数位上的数字均不为0的多位自然数称为“完美数”，若将一个三位“完美数“的各数位上的数字两两组合，形成六个新的两位数，我们将这六个两位相加的和，叫做该三位“完美数”的“完美双和”，然后用所得的“完美双和”除以18，得到的结果记为，例如“271”是一个三位“完美数”，六个新数为27，21，72，71，12，则：

（1）填空：______；

（2）证明：任意一个三位“完美数”的“完美双和”与该三位“完美数”各数位上数字之差能被21除；

（3）已知一个三位“完美数”其中，且x，均为整数，满足百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍加1，求出．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

根据的定义求解即可；

设三位“完美数”百位数为a，十位数为b，个位数为c，计算出“完美双和”与该三位“完美数”各数位上数字之差，即可得证；

根据“完美数”其中，且x，均为整数是三位数，确定x的值，再根据这个三位数百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍加1，确定y的值，进而得出三个三位数，最后根据的定义求解即可．

六个新数为51，15，53，35，13，31，则：；

三位“完美数”百位数为a，十位数为b，个位数为c，

则“完美双和”与该三位“完美数”各数位上数字之差为：，

，b，c为正整数，

一个三位“完美数”的“完美双和”与该三位“完美数”各数位上数字之差能被21除；

“完美数”其中，且x，均为整数是三位数，

或或，

当时，，

这个三位数百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍加1，

，解得舍去，

当时，，

这个三位数百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍加1，

，解得，

此时，

同的方法，可求得，

当时，，

这个三位数百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍加1，

，解得，

此时，

同的方法，可求得．