Question

问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．

小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为　  　度。

(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；

(3)在(2)的条件下，①如果点P运动到D点右侧（不包括D点），则∠APC与α、β之间的数量关系为            ．②如果点P运动到B点左侧（不包括B点），则∠APC与α、β之间的数量关系         .（直接写出结果）

Answer

（1）100°；（2）∠APC＝，理由详见解析； （3）∠APC =, ∠APC =

【解析】

（1）过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC；

（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案.

【解析】
（1）如图1，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，

∵∠PAB=125°，∠PCD=135°，

∴∠APE=55°，∠CPE=45°，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=55°+45°=100°.

（2）∠APC=α+β，

理由是：如下图，过P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.

（3）如下图所示，当P在BD延长线上时，

过P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠1=∠PAB=α，

∵∠1=∠APC+∠PCD

∴∠APC=∠1-∠PCD，

∴∠APC=α-β，

如下图所示，当P在DB延长线上时，

过P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠EPC=∠PCD=β，∠EPA=∠PAB=α

又∵∠EPC=∠EPA+∠APC，

∴∠APC=β-α.