Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE交BC于点F，连接BE．

(1)求证：AB⊥BE；

(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．

Answer

(1)证明见解析；(2)∠BEF＝67.5°.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质可得∠A＝∠ABC＝45°，根据“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠A＝∠CBE＝45°＝∠ABC，即AB⊥BE；

（2）由全等三角形的性质可得AD＝BE＝BF，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BEF的度数．

证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠A＝∠ABC＝45°，

∵CE⊥CD，

∴∠DCE＝90°，

∴∠ACB＝∠DCE，

∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴∠A＝∠CBE＝45°，

∵∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝45°+45°＝90°，

∴AB⊥BE；

(2)∵△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE，

∵AD＝BF，

∴BE＝BF，且∠CBE＝45°，

∴∠BEF＝∠BFE＝67.5°.