Question

阅读下面的学习材料(研学问题)，尝试解决问题：

(a)某学习小组在学习时遇到如下问题：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一点，DA＝DB，E为AD延长线上一点，∠AEB＝120°，猜想BC、EA、EB的数量关系，并证明结论．大家经探究发现：过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，如图②所示，构造全等三角形使问题容易求解，请写出解答过程．

(b)参考上述思考问题的方法，解答下列问题：

如图③，等腰△ABC中，AB＝AC，H为AC上一点，在BC的延长线上顺次取点E、F，在CB的延长线上取点BD，使EF＝DB，过点E作EG∥AC交DH的延长线于点G，连接AF，若∠HDF+∠F＝∠BAC．

(1)探究∠BAF与∠CHG的数量关系；

(2)请在图中找出一条和线段AF相等的线段，并证明你的结论．

Answer

(a)BC＝AE+BE．证明见解析；(b)(1)∠CHG＝∠BAF；(2)AF＝DG，证明见解析.

【解析】

（a）如图②中，结论：BC＝AE+BE．理由如下，只要证明△BAF≌△ABC，推出BC＝AF，再证明EF＝BE，可得BC＝AF＝AE+EF＝AE+BE；

（b）（1）由∠F+∠FDG＝∠BAC，推出∠CHG＝∠FDG+∠DCH＝∠FDG+∠F+∠CAF＝∠BAC+∠CAF＝∠BAF；

（2）结论：AF＝DG．如图③中，延长BD到R，使得BR＝CF，连接AR，作AJ∥CF交EG的延长线于J．首先证明四边形ACEJ，四边形AJDR是平行四边形，再证明△ABF≌△JED，想办法证明∠1＝∠2，即可解决问题．

【解析】
(a)如图②中，结论：BC＝AE+BE．理由如下，

∵DA＝DB，

∴∠DBA＝∠DAB，

∵AF⊥BF，

∴∠F＝∠C＝90°，

在△BAF和△ABC中， ，

∴△BAF≌△ABC(AAS)，

∴BC＝AF，

∵∠AEB＝120°＝∠F+∠FBE，

∴∠FBE＝30°，

∴EF＝BE，

∴BC＝AF＝AE+EF＝AE+BE，

∴BC＝AE+BE；

(b)(1)如图③中，

∵∠HDF+∠F＝∠BAC，

∴∠CHG＝∠FDG+∠DCH＝∠FDG+∠F+∠CAF＝∠BAC+∠CAF＝∠BAF，

∴∠CHG＝∠BAF；

(2)结论：AF＝DG．理由如下，

如图③中，延长BD到R，使得BR＝CF，连接AR，作AJ∥CF交EG的延长线于J，

∵AJ∥CE，AC∥JE，

∴四边形ACEJ是平行四边形，

∴AJ＝CE，AC＝JE，

∵AB＝CA，

∴JE＝AB，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABR＝∠ACF，

在△ABR和△ACF中， ，

∴△ABR≌△ACF(SAS)，

∴AR＝AF，

∵BR＝CF，BD＝EF，

∴DR＝CE＝AJ，ED＝BF，

∵AJ∥RD，

∴四边形ARDJ是平行四边形，

∴JD＝AR＝AF，

在△ABF和△JED中， ，

∴△ABF≌△JED(SSS)，

∴∠1＝∠BAF，

∵∠BAF＝∠CHG＝∠2，

∴∠1＝∠2，

∴DG＝DJ，

∴AF＝DG．