Question

如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=30°，∠C=50°。

（1）求∠DAE的度数；

（2）试写出∠DAE与∠C、∠B之间的数量关系（不必说明理由）

Answer

(1)10°;(2).

【解析】

（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAE，然后求解即可；
（2）分两种情况，利用（1）中的数据关系直接得出答案即可．

【解析】
（1）∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=×100°=50°，
∵AD是高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
（2）当∠C＞∠B时，如图1，

根据三角形的内角和得，∠BAC=180°-（∠B+∠C），
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=90°-[180°-（∠B+∠C）]= （∠B+∠C）-90°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠BAE=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-∠B-[（∠B+∠C）-90°]= （∠C-∠B），
∴∠DAE=（∠C-∠B）．
当∠C＜∠B时，如图2，

同∠B＞∠C的方法得出，∠DAE=（∠B-∠C）．