Question

(1)如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数；

(2)如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数；

(3)上面(1)(2)两题中的∠BOC与∠B′O′C′ 有怎样的数量关系?若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′ 是否还具有这样的关系?这个结论你是怎样得到的?

Answer

(1)110° ; (2)70° ; (3)互补.

【解析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB求出∠OBC+∠OCB的度数，由三角形内角和定理即可得出∠BOC的度数．
（2）利用三角形的内角和以及外角和性质即可进行解答；
（3）根据三角形内角和定理和角平分线定义，（3）由前两问提供的思路，进一步推理．

【解析】
（1）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．
∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×140°=70°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°；

（2）因为∠A的外角等于180°-40°=140°，
△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，
根据三角形的外角和等于360°，
所以∠1+∠2=×（360°-140°）=110°，
∠B′O′C′=180°-110°=70°；
（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′=110°+70°=180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补；
证明：当∠A=n°时，∠BOC=180°-[（180°-n°）÷2]=90°+，
∵∠A′=n°，∠B′O′C′=180°-[360°-（180°-n°）]÷2=90°-，
∴∠A+∠A′=90°++90°-=180°，∠BOC与∠B′O′C′互补，
所以当∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系．