Question

如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC

点G是直线BC上方抛物线上一动点不与B、C重合，过点G作y轴的平行线交直线BC于点E，作于点F，点M、N是线段BC上两个动点，且，连接DM、当的周长最大时，求的最小值；

如图2，连接BD，点P是线段BD的中点，点Q是线段BC上一动点，连接DQ，将沿PQ翻折，且线段的中点恰好落在线段BQ上，将绕点O逆时针旋转得到，点T为坐标平面内一点，当以点Q、、、T为顶点的四边形是平行四边形时，求点T的坐标．

Answer

（1）最小值为；（2）点T的坐标为或或

【解析】

先求出点B、C、D的坐标，可求直线BC解析式且得到由轴和可得是等腰直角三角形，则GE最大时其周长最大设点G坐标为，则点，可列得GE与a的函数关系式，配方可求出其最大值，得到此时的G坐标和EF的长，即得到MN长求最小值转化为求最小值先作D关于直线BC的对称点，再通过平移得，构造“将军饮马”的基本图形求解．

由翻折得DD′⊥PQ，PD=PD′，再由P为BD中点证得∠BD′D=90°，得PQ//BD′，又D′P中点H在BQ上，可证≌△D′BH，所以有D′Q//BP，即四边形DQ D′P为菱形，得设Q点坐标为即可列方程求得再根据题意把点A′、C′求出以点Q、、、T为顶点的四边形是平行四边形，要进行分类讨论，结合图形，利用平行四边形对边平行的性质，用平移坐标的方法即可求得点T．

，

抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，顶点，

直线CB解析式：，，

轴，，

，，

是等腰直角三角形，，

，

设点，则点，其中，

，

时，GE有最大值为，

的周长最大时，，，

，E点可看作点F向右平移个单位、向下平移个单位，

如图1，作点D关于直线BC的对称点，过N作且，

，即

，

当、N、G在同一直线上时，为最小值，

，

最小值为；

连接DD′、D′B，设D′P与BQ交点为如图，

沿PQ翻折得△D′PQ，

∴DD′⊥PQ，PD=PD′，DQ=D′Q，∠DQP=∠D′QP，

为BD中点，

∴PB=PD=PD′，，

∴△BDD′是直角三角形，∠BD′D=90°，

∴PQ//BD′，

∴∠PQH=∠D′BH，

为D′P中点，

∴PH=D′H，

在与△D′BH中

，

≌△D′BH （AAS），

∴PQ=BD′，

四边形BPQD′是平行四边形，

∴D′Q//BP，

∴∠DPQ=∠D′QP，

，

，

，

设，

，

解得：，舍去，

点Q坐标为，

绕点O逆时针旋转得到，

∴A′，C′，

∴A′、C′横坐标差为，纵坐标差为，

A′、Q横坐标差为，纵坐标差为，

当有平行四边形A′C′TQ时如图，点T横坐标为，纵坐标为；

当有平行四边形A′C′QT时如图，点T横坐标为，纵坐标为；

当有平行四边形A′TC′Q时如图，点T横坐标为，纵坐标为，

综上所述，点T的坐标为或或.