Question

如图1,点O是直线AB上的一点.

(1)如图1,当∠AOD是直角,3∠AOC=∠BOD,求∠COD的度数；

(2)在(1)中∠COD绕着点O顺时针旋转(OD与OB重合即停止),如图2，OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD,则在旋转过程中∠EOF的大小是否变化?若不变,求出∠EOF的大小；若改变,说明理由；

(3)在(1)中线段OC、OD绕着点O顺时针旋转,速度分别为每秒20°和每秒10°(当OD与OB重合时旋转都停止),OM、ON分别平分∠BOC、∠BOD，多少秒时∠COM=∠BON(直接写出答案,不必写出过程).

Answer

（1）60°；（2）120°；（3）6秒.

【解析】

（1）根据直角的定义求出∠BOD，再根据3∠AOC=∠BOD可得∠AOC的度数，又因为∠COD与∠AOC 互余即可解答；

（2）不变，是120°.根据（1）求出∠COD的度数，从而求得∠AOC+∠BOD的值， 再利用角平分线定义求出∠EOC +∠DOF，最后根据∠EOF=∠EOC +∠DOF+∠COD即可解答.

(3) 设t秒时，∠COM=∠BON.用含t的式子表示出∠COM、∠BON，从而列出方程求解.

【解析】
（1）因为∠AOD是直角，所以∠AOD= =90°，又因为3∠AOC=∠BOD，所以∠AOC=∠BOD=30°，所以∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-30°=60°；

（2）因为∠AOD是直角，∠AOC=30°，所以∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-30°=60°，

所以∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=180°- 60°=120°，因为OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD，所以∠EOC +∠DOF =(∠AOC+∠BOD)=×120°=60°，所以∠EOF=∠EOC +∠DOF+∠COD=60°+60°=120°；

（3）设t秒时，∠COM=∠BON.t秒时，∠COM= (180°-∠AOC-20°t)= (180°-30°-20°t)=75°-10°t，∠BON=∠BOD=（90°-10°t）=45°-5°t，当∠COM=∠BON时，75°-10°t=45°-5°t，解得：t=6，即6s时，∠COM=∠BON.