Question

如图①已知抛物线y=ax²﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．

（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；

（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）(1.5，0) (-1，0)

（2）；

（3）存在，.

【解析】

（1）由抛物线的对称轴为直线求出抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的对称轴方程，即可求得点E的坐标；在y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）令y=0可得关于x的方程ax2﹣3ax﹣4a=0，解方程即可求得点A的坐标；

（2）如图1，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，结合（1）可得DE=OE=，EB=，OC=-4a，在Rt△BDE中由勾股定理可得BD=2，这样由tan∠OBC=即可列出关于a的方程，解方程求得a的值即可得到抛物线的解析式；

（3）由折叠的性质和MN∥y轴可得∠MCN=∠M′CN=∠MNC，由此可得CM=MN，由点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3）可得线段BC=5，直线BC的解析式为y=﹣x+3，由此即可得到M、N的坐标分别为（m，﹣m+3）、（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，这样由sin∠BCO=即可解得CM=m，然后分点N在直线BC的上方和下方两种情况用含m的代数式表达出MN的长度，结合MN=CM即可列出关于m的方程，解方程即可求得对应的m的值，从而得到对应的点Q的坐标.

（1）∵对称轴x=，

∴点E坐标（，0），

令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0，

∴x=﹣1或4，

∴点A坐标（﹣1，0）．

故答案分别为（，0），（﹣1，0）．

（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，

∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，

∴DB=，

∵tan∠OBC=，

∴，解得a=，

∴抛物线解析式为y=．

（3）如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，

∵MN∥OM′，

∴∠M′CN=∠CNM，

∴MN=CM，

∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），

∴ 直线BC解析式为y=﹣x+3，BC=5，

∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，

∵sin∠BCO=，

∴，

∴CM=m，

①当N在直线BC上方时，﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=m，

解得：m=或0（舍弃），

∴Q1（，0）．

②当N在直线BC下方时，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）=m，

解得m=或0（舍弃），

∴Q2（，0），

综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．