Question

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是（　　）

A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5

Answer

C

【解析】

过点B作直线平行AC和EF的延长线相交于P，由菱形的性质，可求得OE的长，证得AC是⊙M的切线，然后由切线长定理，求得EN的长，易证得△DMN∽△DEO，△EFC∽△PFB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

过点B作直线平行AC和EF的延长线相交于P．

∵AE=5，EC=3，∴AC=AE+CE=8．

∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OCAC=4，AC⊥BD，∴OE=OC﹣CE=4﹣3=1．

∵以OB为直径画圆M，∴AC是⊙M的切线．

∵DN是⊙M的切线，∴EN=OE=1，MN⊥AN，∴∠DNM=∠DOE=90°．

∵∠MDN=∠EDO，∴△DMN∽△DEO，∴DM：MN=DE：OE．

∵MN=BM=OMOB，∴DM=OD+OM=3MN，∴DE=3OE=3．

∵OE∥BP，∴OD：OB=DE：EP=OE：BP．

∵OD=OB，∴DE=EP=3，∴BP=2OE=2．

∵OE∥BP，∴△EFC∽△PFB，∴EF：PF=EC：BP=3：2，∴EF：EP=3：5，∴EF=EP1.8，∴DF=DE+EF=3+1.8=4.8．

故选C．