Question

如图1，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC边于点E，BD平分∠ABE交AC于F，交⊙O于点D，且∠BDE＝∠CBE．

（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）延长ED交直线AB于点P，如图2，若PA＝AO，DE＝3，DF＝2，求的值及AO的长．

Answer

（1）答案见解析；（2），AO=．

【解析】

试题（1）根据圆周角定理可知∠BAE+∠EBA=90°，由∠BAE=∠BDE，∠BDE=∠CBE，所以∠EBA+∠EBC=90°．

（2）易证OD∥DE，从而可知，易证△EDF∽△BDE，DE2=DF•DB，从而可求出DB的长度，由勾股定理可知AB的长度．

试题解析：【解析】
（1）∵AB是直径，∴∠BAE+∠EBA=90°．∵∠BAE=∠BDE，∠BDE=∠CBE，∴∠EBA+∠EBC=90°，∴BC是⊙O的切线；

（2）连接OD．∵BD平分∠ABE，∴∠OBD=∠EBD．∵∠ODB=∠OBD，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥BE．∵PA=AO，∴．∵∠DEF=∠DBA，∴∠DEF=∠EBD．∵∠EDF=∠EDB，∴△EDF∽△BDE，∴，∴DE2=DF•DB，∴DB=，∴由勾股定理可知：AB2=AD2+BD2，∴AB=，∴AO=．