Question

如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.

(1)求证:△ADG≌△BDF；

(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；

(3)设AE=,CF=,求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围；

(4)求线段EF长度的最小值.

Answer

(1)见解析(2) 见解析(3) 见解析（4）5

【解析】

（1）由D是AB中点知AD=BD，结合DG=DF，∠ADG=∠BDF即可得证；
（2）连接EG．根据垂直平分线的判定定理即可证明．
（3）由△ADG≌△BDF，推出∠GAB=∠B，推出∠EAG=90°，可得EF2=（8-x）2+y2，EG2=x2+（6-y）2，根据EF=EG，可得（8-x）2+y2=x2+（6-y）2，由此即可解决问题．
（4）由EF===知x=4时，取得最小值．

【解析】
（1）∵D是边AB的中点，
∴AD=BD，
在△ADG和△BDF中，
∵，
∴△ADG≌△BDF（SAS）；
（2）如图，连接EG．

∵DG=FD，DF⊥DE，
∴DE垂直平分FG．

∴EF=EG．
（3）∵D是AB中点，
∴AD=DB，
∵△ADG≌△BDF，
∴∠GAB=∠B
∵AB=10,BC=6,AC=8.

∴= +

∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，∠CAB+∠GAB=90°，
∴∠EAG=90°，
∵AE=x，AC=8，
∴EC=8-x，
∵∠ACB=90°，
∴EF2=（8-x）2+y2，
∵△ADG≌△BDF，
∴AG=BF，
∵CF=y，BC=6，
∴AG=BF=6-y，
∵∠EAG=90°，
∴EG2=x2+（6-y）2，
∵EF=EG，
∴（8-x）2+y2=x2+（6-y）2，
∴y=，（＜x＜）．
（4）∵EC=8-x，CF=y=x-，
∴EF=

=

=

=

∵（x-4）2≥0，
∴≥25，
∴当x=4时，EF取得最小值，最小值为5．
故线段EF的最小值为5．