Question

我们已经知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形.其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）.数学家已发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方.如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达：．

（1）在图②，若，，则          ；

（2）观察图②，利用面积与代数恒等式的关系，试说明的正确性.其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上；

（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8，BC＝10，利用上面的结论求EF的长．

Answer

（1）12; (2)答案见解析;(3)5

【解析】

试题

（1）利用题中所给公式：，代入即可解出的值；

（2）先用“梯形面积计算公式”计算出图②的面积，再分别计算图②中三个三角形的面积并相加得到图②的面积，利用两次所求面积相等得到等式，把等式变形即可得到公式：；

（3）由矩形和折叠的性质可得：AF=AD=BC=10，DC=AB=8，EF=DE；在Rt△ABF中，由题中所给结论可计算出BF的长，从而可得FC的长；设EF=，则DE=，EC=，这样在Rt△EFC中，由题中所给结论可得关于的方程，解方程即可求得EF的长.

试题解析：

（1）∵，代入，

∴；

（2）∵图①的面积＝＝，

图①的面积＝S梯形ABCD＝＝，

∴ ＝，

∴ ,

即 .

（3）由四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得，，，EF=DE，

由题意可得：在Rt△ABF中，，即，解得：，

又∵，

∴ ，

设，则， ，

∵在Rt△ECF中，，

∴，

解得 ，即.